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Mathematik

Gleichung 4. Grades
Zerlegung: x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)



Siehe auch Formel von Cardano       Gleichungen 4. Grades - Sonderfälle.

Kurzfassung

Die Parameter p, q, s und t für der Zerlegung in quadratische Faktoren

x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)

berechnen sich folgendermaßen:

   Bestimme eine Lösung u der Gleichung 3. Grades

    3     2         2          2         2
   u - 2bu + (ac + b - 4d)u + c - abc + a d =0

        2
   mit a ≥4u falls a, b, c, d reell.


   Dann ist

     p=1/2a+1/2*sqrt(a^2-4u)
          3             2
         p - c + bp - ap
     q = ———————————————   Fall 2p-a=0 siehe Sonderfall
            2p - a


     s = a-p und


                 2
     t = b-q-ap+p
Bei reellen Koeffizienten a, b, c und d kann man die Rechnung im reellen Zahlenbereich (auch numerisch stabil) bewerkstelligen.

Mir ist kein kürzeres Verfahren zur Lösung der Quartischen Gleichung bekannt. 

Beispiel:

 4    3     2
x + 6x + 18x + 30x + 25 =0


Rechnung:

                           3     2
Eine Lösung der Gleichung u - 36u + 404u - 1440  = 0 ist


u=8


Daraus berechnen sich die Koeffizienten der beiden quadratischen Gleichungen zu


  1    1      2
p=-a + -sqrt(a -4u) = 4
  2    2

     3             2
    p - c + bp - ap
q = ——————————————— = 5
       2p - a


s = a - p = 2

                  2
t = b - q - ap + p = 5


  Die quadratischen Gleichungen


   2                2
  x + px +q =0 und x + sx + t = 0 haben die Lösungen


x  =  -2 + i
 1


x  =  -2 - i
 2


x  = -1 + 2i
 3


x  = -1 - 2i
 4


Dies sind somit die Lösungen der Gleichung


 4    3     2               2            2
x + 6x + 18x + 30x + 25 = (x + 4x + 5)·(x + 2x + 5) = 0


Ausführlich


Polynom 4. Grades als Produkt zweier quadr. Polynome 
Hier wird gezeigt wie man die
quadratischen Teiler
g(x)=x2+px+q und
h(x)=x2+sx+t eines Polynoms

f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
mit Hilfe einer Lösung einer kubischen Gleichung
berechnen kann.

x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)
Und damit hat man auch die Möglichkeit über die quadratische Gleichung die Nullstellen des Polynoms 4. Grades zu berechnen.

Nützlich ist dieses Verfahren vor allem für reelle Koeefizienten von a,b,c und d. Der Lösungsansatz ist jedoch auch für komplexe Koeefizienten denkbar. 


                      4    3    2                        2
Dividiert man f(x) = x + ax + bx  + cx + d durch g(x) = x + px + q

so erhält man

f(x)=g(x)·h(x) + r(x), ausführlich


 4    3    2            2            2
x + ax + bx + cx +d = (x + px + q)·(x + sx + t) + r(x)

                                 2
mit s = a - p, t = b - q - ap + p  und

                   2   3                          2         2
r(x) = (c - bp + ap - p - aq + 2pq)x + (d - bq + q + apq - p q)

Damit r(x)=0 wird, müssen wird also eine Lösung (p,q) des folgenden Gleichungssystems finden:

c-bp+ap2-p3-aq+2pq=0 (1)
d-bq+q2+apq-p2q=0 (2)

Wir lösen dieses Gleichungssystem aus zwei Gründen nicht nach dem Bairstow-Verfahren.
1. Iteration bei dem Bairstow-Verfahren ist zweidimensional.
2. Bairstow-Verfahren ist als zweidimensionales Newtonverfahren kritisch bei Extremwerten.
Die Lösung mit Hilfe der Cardanoformel wollen wir hier auch vermeiden, weil diese nicht - auch bei reellen Koeeffizienten a,b,c und d - mit reellen Zahlen bewerkstelligt werden kann. 


Gleichung (1) nach q aufgelöst ergibt  q=(p^3-ap^2+pb-c)/(2p-a)
Wird dies in die Gleichung (2) eingesetzt, kommt man auf die Gleichung 6. Grades, die sich aber mit Hilfe einer Gleichung 3. Grades lösen läßt. 
p^6-3*a*p^5+(3*a^2+2*b)*p^4+(-a^3-4*b*a)*p^3+(c*a-4*d+b^2+2*b*a^2)*p^2
   +(-b^2*a-a^2*c+4*d*a)*p+(-c^2+b*c*a-d*a^2)=0
Mit der Substitution u=p(a-p) vereinfacht sich diese Gleichung zu einer Gleichung 3. Grades, nämlich zu 
 3     2         2          2         2
u - 2bu + (ac + b - 4d)u + c - abc + a d = 0
Kopierbar: u^3-2*b*u^2+(a*c+b^2-4*d)*u+c^2-a*b*c+a^2*d=0 
u=p(a-p) nach p aufgelöst ergibt
 p=1/2a+1/2*sqrt(a^2-4u)
Kopierbar: p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)
(Wähle dabei u so, dass a2≥4u, falls a, b, c und d reell.) 
Probe mit Maple:
u:=p*a-p^2;
yp:=u^3-2*b*u^2+(c*a-4*d+b^2)*u+c^2-b*c*a+d*a^2;
y:=p^6-3*a*p^5+(3*a^2+2*b)*p^4+(-a^3-4*b*a)*p^3+(c*a-4*d+b^2+2*b*a^2)*p^2
   +(-b^2*a-a^2*c+4*d*a)*p+(-c^2+b*c*a-d*a^2);
simplify(yp+y);#zeigt: yp=-y
Wir erhalten also für u mindestens eine reelle Lösung, die man mit geeigneten numerischen Verfahren (Newtonverfahren oder Intervallhalbierungsverfahren) lösen kann.

Hat man p bestimmt, so kann man q, s und t nach folgender Rechnung bestimmen: 
q=(p^3-ap^2+pb-c)/(2p-a)
s=a-p und
t=b-q-a*p+p^2
Hier das Rechenschema (für reelle Koeffizienten), das man dann direkt mit TTMathe|(reelles) Rechenblatt lösen kann: 

  Rechenschema für die Berechnung der Zerlegung
  x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=...
b=...
c=...
d=...
   Fall c=(4a*b-a^3)/8) (Sonderfall)
   p=1/2a
   s=1/2a
   q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
   t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
   Fertig!
b1=-2*b
b2=c*a-4*d+b^2
b3=c^2-b*c*a+d*a^2
   Bestimme (am stabilsten mit dem mit dem Intervallhalbierungsverfahren)
   die absolut kleinste Lösung der Gleichung u^3+b1*u^2+b2*u+b3=0
   und überschreibe damit u=...
u=...
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)
q=(p^3-a*p^2+p*b-c)/(2*p-a)
  -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p
t=b-q-a*p+p^2
   Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
   (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
   =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p
b=t+p*s+q
c=p*t+q*s
d=q*t
  //Die reellen oder komplexen Nullstellen:
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)

Hier das Rechenschema für die komplexe Rechnung mit Hilfe der Cardanoformel: 

  Rechenschema für die Berechnung der Zerlegung
  x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=...
b=...
c=...
d=...
   Fall c=(4a*b-a^3)/8) (Sonderfall)
   p=1/2a
   s=1/2a
   q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
   t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
   Fertig!
b1=-2*b
b2=c*a-4*d+b^2
b3=c^2-b*c*a+d*a^2
  //Lösen von u^3+b1*u^2+b2*u+b3=0 mit der Cardanoformel
p0=b2-(b1)^2/3
q0=2/27*(b1)^3-1/3*(b1)*(b2)+b3
dd=(q0/2)^2+(p0/3)^3
   Bedeutung: uc=u0^3  vc=v0^3
uc=-q0/2+sqrt(dd)
vc=-q0/2-sqrt(dd)

u1=uc^(1/3)
u2=u1*cis(120°)
u3=u1*cis(240°)

v1=vc^(1/3)
v2=v1*cis(120°)
v3=v1*cis(240°)
u0=u1  (zum Beispiel)
v0=v1  (v0=v2 oder v0=v3, so dass u0*v0=-p0/3)
t1=u0*v0
t2=-p0/3
   Suche u0 und v0 mit t1=t2 [und abs(u) minimal,
                             falls a,b,c,d reell]
u=u0+v0-1/3*b1
   //Ende der Cardanoformel
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)
q=(p^3-a*p^2+p*b-c)/(2*p-a)
  -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p
t=b-q-a*p+p^2
   Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
   (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
   =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p
b=t+p*s+q
c=p*t+q*s
d=q*t
  //Die reellen oder komplexen Nullstellen:
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)


Bemerkung: Dass die Cardanoformel nicht für den praktischen Gebrauch geeignet ist, sieht man bei folgendem Beispiel: 
a=1
b=1
c=1
d=1
...
   Maple liefert den Wert
u=-1/12*(100+60*I*sqrt(3)*sqrt(5))^(1/3)+1/12*I*(100+60*I*sqrt(3)*sqrt(5))^(1/3)*sqrt(3)
  -1/12*(100-60*I*sqrt(3)*sqrt(5))^(1/3)-1/12*I*(100-60*I*sqrt(3)*sqrt(5))^(1/3)*sqrt(3)+2/3

und ist nicht in der Lage diesen Wert zu

u=-1

zu vereinfachen.

Daselbe Problem stellt sich bei der Rechnung mit Termen von folgender Form:

u0=arccos(cos(α/3))

Beispiel a)

f(x)=x4 + x3 + x2 + x + 1

Rechnung: 

   Berechnung der Zerlegung
   x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=1
b=1
c=1
d=1 =1
b1=-2*b=-2
b2=c*a-4*d+b^2=-2
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =1
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit einer Lösung x1=...
    (siehe nach dem 1. Durchlauf Blatt ganz unten. Ergebnis dann nach 2. Durchlauf)
u=-1
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=1/2+1/2*sqrt(5)
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1
s=a-p=-1/2*sqrt(5)+1/2
t=b-q-a*p+p^2 =1
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=1
b=t+p*s+q =1
c=p*t+q*s =1
d=q*t=1
   //Die reellen oder komplexen Nullstellen:
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=(1/4*sqrt(5)-1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=(1/4*sqrt(5)-1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i

Somit f(x)=(x2+(-1/2*sqrt(5)+1/2)x+1)(x2+(1/2+1/2*sqrt(5))x+1)

Beispiel b)

f(x)=x4 - x3 + 2x2 - x + 1


   Berechnung der Zerlegung
   x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=-1
b=2
c=-1
d=1
b1=-2*b=-4
b2=c*a-4*d+b^2=1
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =0
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit einer Lösung x1=...
    (siehe nach dem 1. Durchlauf Blatt ganz unten. Ergebnis dann nach 2. Durchlauf)
u=0
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=0
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1
s=a-p=-1
t=b-q-a*p+p^2 =1
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=-1
b=t+p*s+q =2
c=p*t+q*s =-1
d=q*t=1
   //Die reellen oder komplexen Nullstellen:
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=i
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=i
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=1/2+1/2*sqrt(3)i
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=1/2-1/2*sqrt(3)i

Somit f(x)=(x2-x+1)(x2+1)

Beispiel c)

f(x)=x4 - x3 + 2x2 - 3x + 1


   Berechnung der Zerlegung
   x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=-1
b=2
c=-3
d=1
b1=-2*b=-4
b2=c*a-4*d+b^2=3
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =4
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=-0,658967081916994102
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=0,45339765151640378
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=2,20556943040059031
s=a-p=-1,45339765151640378
t=b-q-a*p+p^2 =0,453397651516403796
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=-1
b=t+p*s+q =2
c=p*t+q*s =-3
d=q*t=1
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-0,226698825758201897+1,46771150871022426i
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-0,226698825758201896-1,46771150871022426i
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=1
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=0,453397651516403857

Somit f(x)=
(x2+0,453397651516x+2,205569430401)
·(x2-1,453397651516x+0,453397651516)

Beispiel d)

f(x)=x4+2x3-14x2+2x+1


   Rechenschema für die Berechnung der Zerlegung
   x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=2
b=-14
c=2
d=1
b1=-2*b=28
b2=c*a-4*d+b^2=196
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =64
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=-16
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=1+sqrt(17)
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1
s=a-p=-sqrt(17)+1
t=b-q-a*p+p^2 =1
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2
b=t+p*s+q =-14
c=p*t+q*s =2
d=q*t=1
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=2,76090563295441601
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=0,362199992663244539
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-0,203258341626567109
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-4,91984728399109344

Die Lösungen sind somit:

x1=1/2*sqrt(17)-1/2+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17))
x2=1/2*sqrt(17)-1/2-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17))
x3=-1/2-1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))
x4=-1/2-1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))

(Zur exakten Berechnung der Lösungen verwendete ich Maple)
Kritsch sind numerische Verfahren bei mehrfachen Nullstellen oder - noch schlimmer - bei fast mehrfachen Nullstellen:

Test a)

(x^2-2x+1)(x^2+2000x+1000000)=x^4+1998x^3+996001x^2-1998000x+1000000
Doppelte Nullstelle x=1 und x=-1000 

       Rechenschema für die Berechnung der Zerlegung
   x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x^2+sx+t)
a=1998
b=996001
c=-1998000
d=1000000
b1=-2*b=-1992002
b2=c*a-4*d+b^2=988021988001
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =3984023984004000
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=-4000
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=2000
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000
s=a-p=-2
t=b-q-a*p+p^2 =1
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=1998
b=t+p*s+q =996001
c=p*t+q*s =-1998000
d=q*t=1000000
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=1
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=1
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-1000
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1000
korrekt!

Test b)

Nun hat die erste Parabel das Minimum 0,001 über der x-Achse, sonst gleich. 

         (x^2+px+q)(x^2+sx+t)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
p=2
q=1,0001
s=2000
t=1000000
a=s+p=2002
b=t+s*p+q=1004001,0001
c=t*p+s*q=2002000,2
d=q*t=1000100
b1=-2*b=-2008002,0002
b2=c*a-4*d+b^2=1012022012202,2002
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =-4016024016805600,8
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=4000
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=2000
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000
   -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p=2
t=b-q-a*p+p^2 =1,0000999999999749
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2002
b=t+p*s+q =1004001,0001
c=p*t+q*s =2002000,19999999995
d=q*t=1000099,9999999749
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q) nicht reell
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) nicht reell
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-1000
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1000
Korrekt!

Test c)

Nun hat die erste Parabel das Minimum 0,001 unter der x-Achse, sonst gleich Fall a. 

    (x^2+px+q)(x^2+sx+t)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
p=2
q=1-0,001=0,999
s=2000
t=1000000
a=s+p=2002
b=t+s*p+q=1004000,999
c=t*p+s*q=2001998
d=q*t=999000
b1=-2*b=-2008001,998
b2=c*a-4*d+b^2=1012022009988,998
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =-4016024007987992
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=4000
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=2000
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000
s=a-p=2
t=b-q-a*p+p^2 =0,999000000000023647
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2002
b=t+p*s+q =1004000,999
c=p*t+q*s =2001998,00000000005
d=q*t=999000,000000023647
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-0,968377223
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) =-1,031622777
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-1000
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1000
Korrekt!

Test d)

Nun hat die zweite Parabel das Minimum 0,001 über der x-Achse, sonst gleich Fall a. 

    (x^2+px+q)(x^2+sx+t)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
p=2
q=1
s=2000
t=1000000,001
a=s+p=2002
b=t+s*p+q=1004001,001
c=t*p+s*q=2002000,002
d=q*t=1000000,001
b1=-2*b=-2008002,002
b2=c*a-4*d+b^2=1012022014013,002
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =-4016024024020008
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
   und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=4000
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=2000
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000,001
   -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p=2
t=b-q-a*p+p^2 =1
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2002
b=t+p*s+q =1004001,001
c=p*t+q*s =2002000,002
d=q*t=1000000,001
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-1
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) =-1
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t) nicht reell
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t) nicht reell
Korrekt!

Test e)

Nun hat die zweite Parabel das Minimum 0,001 unter der x-Achse, sonst gleich Fall a. 

    (x^2+px+q)(x^2+sx+t)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
p=2
q=1-0,001=0,999
s=2000
t=1000000,001
a=s+p=2002
b=t+s*p+q=1004001
c=t*p+s*q=2001998,002
d=q*t=999000,000999
b1=-2*b=-2008002
b2=c*a-4*d+b^2=1012022012001
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =-4016024016004000,02
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=4000,0000000000000200802=4000,00000000000002
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=2000
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000,001
   -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p=2
t=b-q-a*p+p^2 =0,999000000000023647
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2002
b=t+p*s+q =1004001
c=p*t+q*s =2001998,00200000005
d=q*t=999000,000999023647
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-0,968377223
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) =-1,031622777
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t) nicht reell
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t) nicht reell

Korrekt!

Test f)

Zum Schluss ändern wir ganz geringfügig die mittleren Werte p und s, so dass es beidesmal nur fast doppelte Nullstellen sind. 

    (x^2+px+q)(x^2+sx+t)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
p=2+0,000001=2,000001
q=1
s=2000-0.000001=1999,999999
t=1000000
a=s+p=2002
b=t+s*p+q=1004001,001998
c=t*p+s*q=2002000,999999
d=q*t=1000000
b1=-2*b=-2008002,003996
b2=c*a-4*d+b^2=1012022018014,986
b3=c^2-b*c*a+d*a^2 =-4016026030015990,98
    Rufe in TTMathe das Menü auf: "Rechnen|Eine Gleichung zwischendurch lösen"
    auf mit x^3+b1*x^2+b2*x+b3=0
    und überschreibe u=... mit der absolut kleinsten Lösung.
    (siehe Blatt ganz unten. Dann (wieder) Menü "Rechne"!)
u=4000,00199799999898191176145787784013=4000,00199799999898
p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*u)=1999,999999
q=-(c-b*p+a*p^2-p^3)/(-a+2*p)=1000000
   -a+2p≠0 (siehe Sonderfall)
s=a-p=2,00000099999999992
t=b-q-a*p+p^2 =0,999999999999772626
    Probe (vergleiche mit den ersten Zeilen)
    (x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)
    =x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d für
a=s+p=2002
b=t+p*s+q =1004001,001998
c=p*t+q*s =2002000,99999899946
d=q*t=999999,999999772627
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q) nicht reell
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) nicht reell
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t) =-0,9990004998750411
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t) =-1,00100050012495882

Korrekt!
Fazit: Der kritsche Punkt - die Berechnung einer Nullstelle des Polynoms 3. Grades konnte mit dem Intervallhalbierungsverfahern ohne Instabilität durchgeführt werden.