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Mathematik

Gleichung 4. Grades. - Sonderfälle
Zerlegung: x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)



Zurück: Gleichungen 4. Grades, allgemein.      
Hier werden zwei Sonderfälle der Gleichung 4. Grades mit einfacher Lösungsformel vorgestellt:

I x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 Sonderfall 4ab-a3=8c (Das Schaubild ist symmetrisch)

II Sonderfall x4 + ax3 + bx2 + aqx + q2 = 0 hier.
Ein Spezialfall davon ist die symmetrische Gleichung x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0

I Sonderfall 4ab-a3=8c oder 2p-a=0

Das Schaubild der Funktion x->x4+ax3+bx2+cx+d ist symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung x = - a/4 parallel zur y-Achse.
Substituiert man x = u - a/4, erhält man eine biquadratische Gleichung der Form u4+b'u2+d'=0

Kurzfassung:

In diesem Fall lautet die Lösung 
      a
  p = -
      2
                    ———————————————————
     1       2      4    2       2
  q= -(4b - a  + \/a - 8a b + 16b - 64d)
     8

      a
  s = -
      2
                    ———————————————————
     1       2      4    2       2
  t= -(4b - a  - \/a - 8a b + 16b - 64d)
     8

Lösung kopierbar:
p=1/2*a
q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
s=1/2*a
t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)
Bemerkung: 4ab-a3-8c ist invariant gegenüber linearen Transformationen, d.h.
aus (u-t)4+a1(u-t)3+b1(u-t)2+c1(u-t)+d = x4+ax3+bx2+cx+d für x= u-t
folgt 4a1b1 - a13 - 8c1 = 4ab - a3 - 8c

Ausführlich: 

Beipiele:
x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0
  a=4 b=6 c=4 Hier: 4ab-a3=8c (=32)
x^4+2x^3-11x^2-12x+36=0
  a=2 b=-11 c=-12 Hier: 4ab-a3=8c (=-96)
7gk4_sonderfall Im Rechenschema des allgemeinen Falles wird bei der Berechnung von
q durch (-a+2p) dividiert.
Es darf also bei der Rechnung dort nicht sein, dass a=2p ist. 
Im Fall a=2p ist dann
p=s=a/2
und c=1/2ab-1/8a3
bzw.4ab-a3=8c.
Die Berechnung von p, q, r und s sowie der Nullstellen ist dann kurz: 
   Nämlich:
p=1/2*a;
s=1/2*a;
q=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
t=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q);
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q);
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t);
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t);
Und: Das Schaubild ist dann symmetrisch zu einer Parallelen der y-Achse.

Herleitung: Aus x4+a*x3+b*x2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t) folgt:
a=p+s, b=q+ps+t,c=qs+pt, d=qt. Mit a=2p und s=p folgt:
a=2p, b=p^2+q+t, c=pq+pt, d=qt. Weitere Umformungen:
p=a/2, b=1/4a^2+q+t, c=1/2aq+1/2at.
Die zweite Gleichung nach t aufgelöst und in die dritte eingesetzt:
t=b-1/4a^2-q, c=1/2aq+1/2a(b-1/4a^2-q)=1/2ab-1/8a^3 q.e.d

Und: q ist dann Lösung der Gleichung: 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0

Berechnung mit Maple 
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+(4*a*b-a^3)/8*x+d;
g:=x->x^2+p*x+q; s:=a-p; t:=b-q-a*p+p^2;h:=x->x^2+s*x+t;
r:=x->((4*a*b-a^3)/8-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q)*x+(d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q);
simplify(f(x)-g(x)*h(x)-r(x));#Ergebnis 0
solve({(4*a*b-a^3)/8-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q=0,d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q=0},{p,q});
#ein Ergebnis:p=1/2a; 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0

Probe:
p:=1/2*a; q:=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
s:=1/2*a; t:=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
c:=(4*a*b-a^3)/8;
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+(4*a*b-a^3)/8*x+d;
g:=x->x^2+p*x+q; h:=x->x^2+s*x+t;
r:=x->(c-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q)*x+(d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q);
simplify(r(x));#Ergebnis:0


Hier das Rechenschema zur Berechnung aller Nullstellen in Maple: 
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+1/8*(4*a*b-a^3)*x+d;
p:=1/2*a; q:=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
s:=1/2*a; t:=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
g:=x->(x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t);simplify(f(x)-g(x));#Probe stimmt!
x1:=-1/4*a+1/4*sqrt(3*a^2-2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x2:=-1/4*a-1/4*sqrt(3*a^2-2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x3:=-1/4*a+1/4*sqrt(3*a^2+2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x4:=-1/4*a-1/4*sqrt(3*a^2+2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
h:=x->(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4);
simplify(f(x)-h(x));#Probe stimmt

Beispiel zum Sonderfall c=(4ab-a^3)/8
Kurze Rechnung

a) f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1


a=4
b=6
c=4   // =(4ab-a^3)/8
d=1
p=1/2*a=2
s=1/2*a=2
q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=1
t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=1
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-1
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-1
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-1
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1
b) f(x)=x4+2x3-11x2-12x+36


a=2
b=-11
c=-12
d=36
p=1/2*a=1
s=1/2*a=1
q=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=-6
t=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=-6
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=2
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-3
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=2
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-3
c) f(x)=x4+4x3-11x2-30x+50


     a=4
     b=-11
     c=-30
     d=50
       Probe:
     c=(4*a*b-a^3)/8=-30
         q ist Lösung der Gleichung 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0
     p=1/2a=2
     s=1/2a=2
     q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=-5
     t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=-10
     x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=sqrt(6)-1
     x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-1-sqrt(6)
     x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=sqrt(11)-1
     x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1-sqrt(11)

II Unterfall c=0 und 4b=a2

Wir ersetzten a durch 2a und kommen dann auf die Form: 

/———————————————————————\
|  4     3   2 2        |
| x + 2ax + a x + d = 0 | (Der Koeffizient vor x ist Null)
\———————————————————————/

Dann ergibt sich für die Zerlegung 

   4     3   2 2        2          2
  x + 2ax + a x + d = (x + px +q)(x + sx + t)


                    ——        ——
mit p=a, s=a, q = \/-d, t= -\/-d

Dies erkennt man sofort durch Einsetzen und Ausmultiplizieren.

Rechenschema für Maple:
p:=a;
s:=a;
q:=sqrt(-d);
t:=-sqrt(-d);
x1:=-p/2+sqrt((p/2)^2-q);
x2:=-p/2-sqrt((p/2)^2-q);
x3:=-s/2+sqrt((s/2)^2-t);
x4:=-s/2-sqrt((s/2)^2-t);

Beispiel 
   4    3    2
  x - 6x + 9x  - 3 = 0;


kopierbar:

x^4-6*x^3+9*x^2-3=0
                         -        -
Lösung: p=-3, s=-3, q= \/3 t= - \/3

x1 = 3/2+1/2*sqrt(9-4*sqrt(3))=2,219686871

x2 = 3/2-1/2*sqrt(9-4*sqrt(3))=0,780313129

x3 = 3/2+1/2*sqrt(9+4*sqrt(3))=3,495507657

x4 = 3/2-1/2*sqrt(9+4*sqrt(3))=-0,495507657

III Sonderfall p=s mit weiteren Sonderbedingungen

(x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)= x^4+a*x^3+(1/4*a^2+t+q)*x^2+1/2*a*(t+q)*x+q*t
Kann ich bei der Gleichung x4+ax3+bx2+cx+d
den letzten Koeefizienten d zerlegen in d=q*t und ergibt sich, dass
b=1/4*a^2+t+q und c=1/2*a*(t+q) ist, dann ist p=s=a/2 und die Zerlegung bereits bekannt.

Beispiel x4+4x3+12x2+16x+15

Man probiert für d=15=3·5 die Lösung q=3 und t=5. Probe:
b=1/4*a^2+t+q=12
c=1/2*a*(t+q)=16 Stimmt (zufällig)
Somit mit p=s=a/2
x4+4x3+12x2+16x+15=(x2+2x+3)·(x2+2x+5)

IV Sonderfall q=t

Zerlegung: x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)

Diesen Fall erkennt man an folgender Beziehung

c = a·sqrt(d)

Die Gleichung können wir dann auch mit d= q2 in folgender Form angeben. 

   /———————————————————————————\
   |  4    3    2         2    |
   | x + ax + bx + aqx + q = 0 |
   \———————————————————————————/

Dann folgt: a=p+s und b=2q+ps
Daraus kann man p und s berechnen: 
           ———————————               ————————————
   1        2                1        2
p= -(a + \/a - 4b + 8q)  s = -(a - \/a  - 4b + 8q)   t=q
   2                         2

Probe mit Maple:
p:=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*b+8*q);
s:=1/2*a-1/2*sqrt(a^2-4*b+8*q);
yp:=expand((x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+q));
#Ergebnis yp=x^4+a*x^3+b*x^2+a*q*x+q^2

Beispiel x44+3x3-14x2+6x+4=0

kopierbar: x^4+3*x^3-14*x^2+6*x+4=0
In diesem Fall ist a=3, b=-14, c=6 und d=4 ist die Bedingung c=a*sqrt(d) erfüllt.
Mit q=t=2 ergibt sich p=6 s=-3
x1=-3+sqrt(7)
x2=-3-sqrt(7)
x3=1
x4=2

Beispiel x4+2x3+3x2+4x+4=0

kopierbar: x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+4=0
In diesem Fall ist a=2, b=3, c=4 und d=4 ist die Bedingung c=a*sqrt(d) erfüllt.
Mit q=t=2 ergibt sich p und s zu

p=1+sqrt(2) und s=1-sqrt(2)
Die vier Lösungen der Gleichung x4+2x3+3x2+4x+4=0 sind also 
x1=(-1/2-1/2*sqrt(2))+(sqrt(5/4-1/2*sqrt(2)))*I;
x2=(-1/2-1/2*sqrt(2))-(sqrt(5/4-1/2*sqrt(2)))*I;
x3=(1/2*sqrt(2)-1/2)+(sqrt(1/2*sqrt(2)+5/4))*I;
x4=(1/2*sqrt(2)-1/2)-(sqrt(1/2*sqrt(2)+5/4))*I;

V Unterfallfall: Symmetrische Gleichung

Eine Gleichung 4. Grades der folgenden Form nennt man symmetrisch. 
 4    3    2
x + ax + bx + ax + 1 = 0
Dies ist ein Unterfall von Sonderfall IV und die folgende Zerlegung sofort berechenbar: 

 4    3    2             2            2
x + ax + bx + ax + 1 = (x + px + 1)·(x  + sx + 1)


          ———————————               ——————————
    1       2               1        2
p = -(a+\/ a - 4b + 8)  s = -(a - \/a - 4b + 8)
    2                       2

kopierbar: p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*b+8) und s=1/2*a-1/2*sqrt(a^2-4*b+8)

Beispiel x4+4x3-12x2+4x+1=0

Kopierbar: x^4+4*x^3-12*x^2+4*x+1=0
Daraus ergibt sich p=2+3*sqrt(2) q=1, s==2-3*sqrt(2), t=1 und damit 
x1=-1-3/2*sqrt(2)+1/2*sqrt((2+3*sqrt(2))^2-4)=-0,164524665
x2=-1-3/2*sqrt(2)-1/2*sqrt((2+3*sqrt(2))^2-4)=-6.078116021
x3= -1+3/2*sqrt(2)+1/2*sqrt((2-3*sqrt(2))^2-4)= 1.628626278
x4= -1+3/2*sqrt(2)-1/2*sqrt((2-3*sqrt(2))^2-4)=0,6140144080

Beispiel x4+2x3-14x2+2x+1=0

kopierbar: x^4+2*x^3-14*x^2+2*x+1= 0 
p = 1+sqrt(17)
q = 1
s = 1-sqrt(17)
t = 1
x1 = -1/2-1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)) =  -0,203258342
x2 = -1/2-1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)) = -4,919847284
x3 = -1/2+1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)) = 2,760905633
x4 = -1/2+1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)) = 0,362199993