Das syntonische Komma in der Musiktheorie und alles, was damit zusammenhängt I

1. Lektion: Töne, Intervalle, Frequenzen und Frequenzverhältnisse

Ein Ton kann auf zweierlei Art beschrieben werden:

Bei den folgenden Beispielen bitte hier

klicken.
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1. Hörpsychologisch: Als Wahrnehmung eines Tones.

2. Physikalisch: Als Luftschwingungen. Diesen kann man eine Frequenz zuordnen.
	Hier: Ton a' Frequenz: 440 Schwingungen pro Sekunde Frequenz: f = 440 Hz (Hertz) Schwingungsdauer: T = 2,273 ms 1 1 Umrechnung: T = -; f = - f T

Je höher der Ton,
um so höher die Frequenz.
Dies wird hier an der
C-Dur-Tonleiter demonstriert.

Durch ein Intervall wird das Nacheinanderausführen oder Zusammenklingen von zwei Tönen beschrieben.

Ein musikalischer Mensch kann das zu zwei Tönen gehörende Intervall ohne Hilfsmittel zuordnen.

Dabei ist es unerheblich, was als erster Ton erklingt.

Zum Beispiel ist das Intervall von c' nach g' dasselbe wie von f' nach c'', nämlich eine Quinte.

Wir werden dafür folgende Schreibweise einführen: Qui = c'g' = f'c''.

Physikalisch wird das Intervall durch das Frequenzverhältnis beschrieben.

Intervall	Noten	Frequenzverhältnis	Hören	Zusammen
Oktav		528:264=2:1
Quint		396:264=3:2
Quart		352:264=4:3
große Terz		330:264=5:4

Zu erwähnen bleibt noch die Prim. Das ist das Intervall, bei dem beide Töne gleich sind. Zu hören ist ein Ton, nur etwas lauter.

Diese Intervalle klingen rein, d.h. ohne Schwebungen. Ein Beispiel mit Schwebungen haben Sie in der Einführung schon kennengelernt:

Dasselbe noch einmal mit reiner Sinusschwingung (ohne Beimischung von Obertönen)
primreinundunrein

Hier noch weitere Beispiele zu Schwebungen. Bei der Oktave und Quinte wurde die Frequenz des zweiten Tones um 1,5 %) erniedrigt. Achten Sie auch hier auf die Schwebungen.

Ein extremes Beispiel ist die "Fiathupe". Hier sind tiefere Töne (sogenannte Differenztöne) hervorgehoben, die man nur sehr leise bei einem Zweiklang mithört.
(Die Verstimmung bei c'' e'' ist übrigens nur die der gleichstufigen Stimmung).

Frequenzverhältnisse gibt man mit möglichst kleinen Zahlen an:


c'' hat die Frequenz von 528 Hz, c' von 264 Hz.

                                           c''     528    2
Also hat die Oktav das Frequenzverhältnis  ——— =   ——— =  -
                                           c'      264    1


                        g'   396 Hz   3
Entsprechend:  Quinte = —— = —————— = -
                        c'   264 Hz   2


                        f'   352 Hz   4
               Quarte = —— = —————— = -
                        c'   264 Hz   3

                        e'   330 Hz   5
           große Terz = —— = —————— = -
                        c'   264 Hz   4

                        d'   297 Hz   9
              Sekunde = —— = —————— = -
                        c'   264 Hz   8

Das Frequenzverhältnis ist unabhängig vom Grundton, entscheidend ist nur das Intervall..
Zum Beispiel ist:
das Frequenzverhältnis der Oktav von g' zu g'' = 792 : 396 = 2:1 und
das Frequenzverhältnis der Quint von g' zu d'' = 594 : 396 = 3:2.

Sie sehen hier auch - da das Frequenzverhältnis der Oktav 2:1 ist -, dass der Ton, der eine Oktav höher erklingt, doppelte Frequenz hat.

(Die Frequenz von g'' ist die doppelte von g', die von d'' die doppelte von d'.)

Die Frequenzverhältnisse aller Intervalle

(In Klammer stehen die künftig verwendeten Abkürzungen der Intervalle.)

Die Oktave (Ok): Frequenzverhältnis
Beispiel: c'' : c' = 528 Hz : 264 Hz = 2 : 1

Die Quinte (Qui): Frequenzverhältnis 3:2
Beispiel: g' : c' = 396 Hz : 264 Hz = 3 : 2

Die Quarte (Qua): Frequenzverhältnis 4:3
Beispiel: f' : c' = 352 Hz : 264 Hz = 4 : 3

Die Quinte und die Quarte ergänzen sich zur Oktave: Qui + Qua = Ok

Die große Terz (gT): Frequenzverhältnis 5:4 .
Beispiel: e' : c' = 330 Hz : 264 Hz = 5 : 4

Die kleine Sext (kSext): Frequenzverhältnis 8:5 .
Beispiel: as' : c' = 422,4 Hz : 264 Hz = 8 : 5

Die große Terz und die kleine Sext ergänzen sich zur Oktave: gT + kSext = Ok

Die kleine Terz (kT): Frequenzverhältnis 6:5 .
Beispiel: es' : c' = 316,8 Hz : 264 Hz = 6 : 5

Die große Sext (gSext): Frequenzverhältnis 5:3 .
Beispiel: a' : c' = 440 Hz : 264 Hz = 5 : 3

Die große Terz und die kleine Sext ergänzen sich zur Oktave: kT + gSext = Ok

Achtung: Es gibt zwei Ganztöne (Ganzton = Sekunde). Das ist der Grund, weshalb wir zwischen reiner, mitteltöniger, wohltemperierter und gleichförmiger Stimmung unterscheiden müssen. Am natürlichsten ist die reine Stimmung (das "diatonische Stimmungsprinzip" unserer Tonleitern), die wir hier zunächst besprechen. Da dies zu Schwierigkeiten bei Tasteninstrumenten bezüglich der Modulationen führt, hat sich heutzutage die gleichstufige Stimmung durchgesetzt, bei der zwölf Quinten sieben Oktaven ergeben und zwei Ganztöne eine große Terz.

Der große Ganzton (G): Frequenzverhältnis 9:8
Beispiel: d' : c' = 297 Hz : 264 Hz = 9 : 8
Der kleine Ganzton (G-): Frequenzverhältnis 10:9
Beispiel: e' : d' = 330 Hz : 297 Hz = 10 : 9

Entsprechend gibt es zwei kleine Septimen (kSept und kSept+).

Die kleine Septime kSept: Frequenzverhältnis 16:9
Beispiel: c'' : d' = 528 Hz : 297 Hz = 16 : 9

Die kleine Septime kSept+: Frequenzverhältnis 9:5
Beispiel: d'' : e' = 594 Hz : 330 Hz = 5 : 9

Der große Ganzton und der kleine Ganzton ergeben zusammen eine große Terz: G + (G-) = gT.

Ganzton und die kleine Septime ergänzen sich zur Oktave: G + kSept = Ok bzw. (G-) + (kSept+) = Ok

Der Halbton (H): Frequenzverhältnis 16:15.
Beispiel: f' : e' = 352 Hz : 330 Hz = 16 : 15

Die große Septime (gSept): Frequenzverhältnis 15:8.
Beispiel: h' : c' = 495 Hz : 264 Hz = 15 : 8

Halbton und die große Septime ergänzen sich zur Oktave: H + gSept = Ok

Bemerkung: Der geniale Pythagoras kam auf die selben Verhältnisse über das Messen von Saitenlängen am Monochord.

Außer Tonhöhe und Lautstärke ist ein wichtiges Charakteristikum eines Tones die Klangfarbe.

Diese hängt davon ab, in wie stark die Obertöne mitschwingen. Man sieht dieses an der Schwingungsform.

Einen Ton, bei dem keine Obertöne mitschwingen, nennt man eine reine Sinusschwingung. Er klingt langweilig.
Eine ganz andere Schwingungsform hat ein Ton, bei dem viele Obertöne mitschwingen. Hier: Grundton: (440 Hz) 100%, 1 Oberton (Ok) (880 Hz) 25% 2. Oberton (Ok+Qui) (1320 Hz) 25% 3. Oberton (2Ok) (1760 Hz) 25% 4. Oberton (2Ok +gT) (2 200 Hz)100%(!) Je mehr und stärker hohe Obertöne beigemischt sind, desto schärfer klingt der Ton.		Wenn Sie genau hinhören, können Sie die hohe Terz cis'''' in diesem Ton mithören.

Mit dem Programm TTmusik können bei Tönen und Akkorde angeben, welche Obertöne in beliebiger Stärke dem Sinuston beigemischt werden.

2. Lektion