Das syntonische Komma in der Musiktheorie und alles, was damit zusammenhängt IV

4. Lektion: Das Centmaß für Intervalle

Siehe auch: Erläuterung für Nichtmathematiker zu den Cent-Angaben für Tonhöhenunterschiede

Kurzgefasst wird im Folgenden erklärt:

Als Einheit für das Intervall wählen wir die Oktave. Die Oktave wird in 1200 Cent (12 Halbtöne) unterteilt: 1Ok = 1200Cent.

Da zum Beispiel in der gleichstufigen Stimmung eine Quinte gleich 7 Halbtöne, eine Oktave gleich 12 Halbtöne sind, erhält die Quinte (das 7/12 einer Oktave) das Centmaß 7/12·1200 Cent = 700 Cent.

Für die reine Quinte erhalten wir 702 Cent und für die reine Quart 498 Cent (siehe unten).

Während beim Hintereinanderausführen von Intervallen die Frequenzverhältnisse multipliziert werden, werden sie bei der Centangabe addiert:

Zuerst eine Quinte	dann	eine Quarte	ergibt	eine Oktave
3:2	·	4:3	=	2:1
702 Cent	+	498 Cent	=	1200 Cent	(reine Stimmung)
700 Cent (7 Halbtöne)	+	500 Cent (5 Halbtöne )	=	1200 Cent	(gleichstufige Stimmung)

Der Zusammenhang Frequenzverhältnis zu Intervall (im Centmaß) ist ein logarithmischer.

Die Centangabe wird vorteilhaft bei Verstimmungen verwendet. Grob gesagt:

Abweichung bis 10 Cent - wie bei mitteltönigen Stimmungen, wenn nur C-Dur nahe Akkorde verwendet werden, bringen im Vergleich zur reinen Stimmung Farbe in die Musik.
Mit 15 Cent Abweichung hat man sich schweren Herzens abgefunden. Anders könnte man auf Tasteninstrumenten nicht alle Tonleitern spielen.
Fürchterlich klingen Verstimmungen um die 40 Cent (ein Fünftel eines Ganztones) wie zum Beispiel beim "Wolf" bei der ansonsten so herrlichen mitteltönigen Stimmung, bei Cis-Des oder bei As-Fis.

Nun Ausführlich:

In unserer Vorstellung haben zwei Oktaven, allgemein zwei gleiche Intervalle, immer denselben Abstand.

Wir sprechen von 1, 2, 3 Oktaven u.s.w. Die Frequenzverhältnisse sind jedoch 2, 4, 8 u. s. w.

Veranschaulichung der Frequenzverhältnisse im Gegensatz zu unserer Vorstellung:

Maßstab: Frequenzen:


Interpretation: -1Ok: Eine Oktave tiefer (Frequenzverhältnis 1:2)

                 0Ok: Prim               (Frequenzverhältnis 1:1)

                 1Ok: Eine Oktave höher  (Frequenzverhältnis 2:1)

                 2Ok: Zwei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 4:1)

                 3Ok: Drei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 8:1)

Maßstab: Unser Höreindruck (das Weber-Fechnersche Gesetz):

Wie kommt man hier zu einer logarithmischen Skala?

Sie können es am folgenden Beispiel erkennen:
3 Oktaven haben das Frequenzverhältnis 8 = 2³ .
3 nennt man den Logarithmus von 8 zur Basis 2.
Mit der Abkürzung lb für den Zweierlogarithmus folgt:
3 = lb(8), da 2³ = 8 ("Logarithmen sind Hochzahlen")

Nun soll dies für die Quinte mit dem Frequenzverhältnis 3:2 erläutert werden:

Wir verwenden die Abkürzung Qui = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2) und Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1). Wir vereinbaren noch, dass die Oktave gleich 1200 Cent ist: Ok = 1200 Cent.

Bekanntlich ergeben 12 (reine) Quinten nicht ganz genau, aber ungefähr 7 Oktaven.

Rechnerisch
                        3 12    7
  12 Qui  ≈ 7 Ok,  da  (-)   ≈ 2 .  Rein rechnerisch folgt daraus:
                        2

            7       7
   1 Qui ≈ —— Ok = ——·1200 Cent = 700 Cent.
           12      12

Ein bessere Näherung ist:

                       3 41   24                         3    24/41
   41 Qui ≈ 24 Ok, da (-)  ≈ 2    oder rein rechnerisch  - ≈ 2      .
                       2                                 2

  (Dies kann man ohne Rechnung mit gutem Gehör feststellen,

   in dem man 41 Quinten hoch und von Fall zu Fall

   - insgesamt 24 mal -  eine Oktave tiefer geht.

   Man landet zum Schluss beim selben Ton.)

              24      24
   => 1 Qui ≈ —— Ok = ——·1200 Cent = 702 Cent
              41      41

                                                    3    y
Bei der genauen Rechnung bestimmen wir y so, dass   - = 2  ist.
                                                    2

                                                             3
Diese Zahl y ist der Logarithmus zur Basis 2 und wird mit lb(-) bezeichnet.
                                                             2

("Logarithmen sind Hochzahlen")

                       3
  => 1 Qui = y·Ok = lb(-)·1200 Cent = 701,955 Cent.
                       2

Intervall = lb(Frequenzverhältnis)·Ok
y = lb(x)Ok = lb(x)·1200Cent

Beispiel Qui = lb(3:2)·1200 Cent
Das Intervall y als Teil der Oktave Ok in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis x

Zum Beispiel ist das Frequenzverhältnis von 3 Okaven x = 2·2·2 = 2³ = 8 und damit das Intervall y = lb(8)Ok = 3Ok (muß ja so sein!).

Begründung:lb(8) ist der Zweierlogarithmus von 8, also die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muß, um 8 zu erhalten, somit lb(8) = 3. Der Zweierlogarithmus macht das Potenzieren rückgängig.

Allgemein ist der Zweierlogarithmus lb(x) als die Zahl definiert, mit der man zwei potenzieren muß, um x zu erhalten:

             y
y=lb(x) <=> 2 = x      Der Zweierlogatithmus und die Potenzen zur Basis 2 sind als


                       Funktionen betrachtet Umkehrfunktionen von einander.

Ausführlicher: siehe Einführung in den Logarithmus.

Jedes Intervall wird nun auf die Oktav bezogen mit dem Maß Cent.

Zum Beispiel:

1 Ok = 1 200 Cent
2 Ok = 2 400 Cent
3 Ok = 3 600 Cent
...
Das Frequenzverhältnis von einer, von zwei, von drei, ... Oktaven ist 2,4,8 ...
Mit den Beziehungen 1 = lb(2), 2 = lb(4), 3 = lb(8), ... können wir deshalb auch schreiben:

1 Ok = lb(2)·1200 Cent
2 Ok = lb(4)·1200 Cent
3 Ok = lb(8)·1200 Cent.

Die übrigen Intervalle berechnen sich dann entsprechend:

         3
Qui = lb(-)·1200 Cent = 702 Cent
         2

         4
Qua = lb(-)·1200 Cent = 498 Cent
         3

...

Bemerkung:

In der gleichstufigen Stimmung mit dem Halbton h = 100 Cent gilt:
Qui(gleichstufig) = 7 h = 700 Cent und
Qua(gleichstufig) = 5 h = 500 Cent.

Die feinen Unterschiede zwischen reiner und gleichstufiger Stimmung werden in Lektion 5 erklärt.

Noch ein Beispiel:

gT = lb(5/4)Ok = 0,321 928Ok = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent

Mit gT = 0,321 928Ok wird zum Ausdruck gebracht:
Die große Terz ist das 0,321 928-Vielfache der Oktave.
Grob abgeschätzt: Die große Terz ist ungefähr ein Drittel einer Oktav, da drei große Terzen aufeinandergetürmt ungefähr eine Oktave ergeben.

Da 1 Oktave = 1200 Cent umfaßt, ist mit dem feinen Maß Cent ausgedrückt:
gT = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent (gerundet).

Der große Nachteil ist, dass die Reinheit von Intervallen, deren Frequenzverhältnis einfache Verhältnisse sind, in der Centschreibeweise nicht erkennbar ist, der Vorteil ist ihre gute Vergleichbarkeit.

Bemerkung: In dem Werk "Teilung des Kanons" (siehe 6. Lektion) addiert Euklid die Intervalle Qua+Qui=Ok und bemerkt dazu, dass dies der Multiplikation der Verhältnisse (4:3)·(3:2) = (2:1) entspricht.

Er wußte auch, dass die Qui ungefähr der 7/12-te Teil der Oktave ist (12 Quinten fast gleich 8 Oktaven). Er kannte noch keine Dezimalzahlen (7/12 = 0,583) und noch keine Logarithmen (lb(3/2)=0,585).

Wenn wir Qua + Qui = 498 Cent + 702 Cent = 1 200 Cent, oder etwas genauer Qua + Qui = 498,044 999 135 Cent + 701,955 000 865 Cent = 1 200 Cent, schreiben, wird nicht einmal erkennbar, dass das zugehörige Zahlenverhältnis rational ist.
Die Probe:


 498,044 999 135 Cent     498,044999135/1200
2                     =  2                   = 1,333 333 333

zeigt uns ebenfalls nicht mit absoluter Sicherheit, dass das Verhältnis 4/3, also die Quart, dahinter steckt.

Vom Höhren her ist Qui=lb(3/2)Ok (Interpretation Qui = 0,585-te Teil der Oktave) nicht nachvollziebar, da lb(3/2) irrational ist. Das heißt: Es gibt kein gemeinsames kleineres Intervall, dessen Vielfaches die Oktave und ein anderes Vielfaches die Quinte ist.

Allgemein gilt: Vom Hören her kann man Intervalle nicht beliebig teilen. Ich kann nur feststellen, ob Vielfache eines Intervalls größer als Vielfache eines anderen Intervalls sind und damit Intervalle äußerst genau vergleichen.

Durch die geniale pythagoreische Zuordnung von Intervallen zu Verhältnissen wurde die Vergleichbarkeit mathematisiert.

Auch für uns "moderne" Menschen ist die Aussage Qui = lb(3/2)Ok unwesentlich. Wir können damit allenfalls musikalische Aussagen besser nachrechnen.

Berechnung von Frequenzverhältnissen

Wie kann ich nun umgekehrt aus Intervallen als Teil der Oktave die Frequenzverhältnisse wieder berechnen?

1. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y=7 Oktaven?

Lösung: Wir müssen die Gleichung y=lb(x)=7 nach x auflösen.

Erinnern wir uns:

y=lb(x) <=> 2^y = x. Auf unser Beispiel angewandt: 7 = lb(x) <=>2⁷=x.

Somit gilt für das Frequenzverhältnis x von 7 Oktaven: x = 2⁷=128.

2. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y = gT = 0,322Ok?

                           0,322         4
Lösung: lb(x)=0,322 <=> x=2      =1,25 = - (Frequenzverhältnis der großen Terz)
                                         5

Wir haben hier mit Näherungswerten gerechnet. Die exakte Rechnung lautet:

                          5
                       lb(-)
     5                    4   5
y=lb(-) = lb(x) => x =2     = - .
     4                        4

                    y           lb(x)
Allgemein gilt: lb(2 ) = y und 2     = x.

3. Beispiel Wir wiederholen das 2. Beispiel, diesmal jedoch im Centmaß:

Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y = gT = 386Cent?

Lösung: Wir müssen zunächst durch 1200 dividieren, da 1Ok = 1200 Cent sind.

                                            386
y=lb(x)Ok=lb(x)·1200Cent=383Cent => lb(x) = ———— = 0,322
                                            1200

                      0,322         5
und damit wieder x = 2     = 1,25 = -
                                    4

Allgemein:

Aus dem Centmaß y = lb(x)·1200 Cent berechnet sich das Frequenzverhältnis über die Umformung

                                y
                            —————————
           y                1200 Cent
lb(x) = ————————   zu x = 2
        1200Cent
                                  702
                                  ————
                                  1200
Beispiel: a) y = 702 Cent => x = 2      = 1,500 038

                                          3
             Ohne Rundungsfehler wäre x = -, also y = reine Quinte.
                                          2

          b) y = 400 Cent (die große Terz bei der gleichstufigen Stimmung)

                      400      1
                     ————      -
                     1200      3
             => x = 2      = 2  = 1,25992 (auf 5 Dezimalen gerundet)


Das Frequenzverhältnis ist irrational, kann also nicht als Bruch angegeben werden.

Überlegungen zum Zweierlogarithmus für Mathematiker und Informatiker.

5. Lektion