Siehe auch Direkte Berechnung des Zweierlogarithmus

Einführung in den Zweierlogarithmus

Vorübung zum Zweierlogarithmus:

a) Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, um 32 zu erhalten?
b) Wie wird diese Zahl geschrieben?

Schauen Sie sich dazu die folgende Tabelle an.

Tabelle zum Logarithmus der Basis 2:

lb2=1,	da 2¹ = 2
lb4=2,	da 2² = 4
lb8=3,	da 2³ = 8
lb16=4,	da 2⁴ = 16
lb32=5,	da 2⁵ = 32
lb64=6,	da 2⁶ = 64
lb128=7,	da 2⁷ = 128
lb256=8,	da 2⁸ = 256
lb512=9,	da 2⁹ = 512
lb1024=10,	da 2¹⁰ = 1024
...	...
1 lb-= - 1 2	-1 1 da 2 = - 2
1 lb-= - 2 4	-2 1 da 2 = - 4
...	...
y=lb(x)	2^y = x

y= lb(x) = log₂(x) ist die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muss, um x zu erhalten.

y= lb(x) <=> x=2^y

Lösung der Vorübung:
a) Die gesuchte Zahl ist 5, da 2⁵ = 32 ist.
b) Sie wird als lb(32) geschieben, da lb(32) = 5 dasselbe bedeutet wie 2⁵ = 32.

Bemerkung: Auf den üblichen Schultaschenrechnern findet man nur den 10-Logarithmus log oder den natürlichen Logarithmus ln. Den Zweierlogarithmus erhalten Sie dann mit der Formel:

        log(x)              ln(x)
lb(x) = —————  oder lb(x) = —————
        log(2)              ln(2)



                         log32   1,505
Rechnen Sie nach: lb32 = ————— = ————— = 5
                         log2    0,301

Beispiele:

Intervall	Bez.	Frequenzverhältnis	Logarithmus	in Cent
Prim		1:1	lb(1)=0	0
1 Oktav	Ok	2:1	lb(2)=1	1200
2 Oktaven		4:1	lb(4)=2	2400
3 Oktaven		8:1	lb(8)=3	3600
1 Quint	Qui	3:2	lb(3/2)=0,585	702
2 Quinten		9:4	lb(9/4)=1,170	1404
G=2Qui-1Ok (großer Ganzton)	G	9:8	lb(9/8)=0,170	204
Quart	Qua	4:3	lb(4/3)=0,415	498
große Terz	gT	5:4	lb(5/4)=0,322	386
kleine Terz	kT	6:5	lb(6/5)=0,263	316
G-=gT - G (kleiner Ganzton)	G-	10:9	lb(10/9)=0,152	182
Halbton	H	16:15	lb(16/15)=0,093	112
große Sext		5:3	lb(5/3)=0,737	884
kleine Sext		8:5	lb(8/5)=0,678	814
große Septime		15:8	lb(15/8)=0,907	1088
kleine Septime (in C-Dur gf)		16:9	lb(16/9)=0,830	996

Bemerkung: Da eine Oktave = 1200 Cent ist, errechnet sich die Centangabe durch Multiplikation mit 1200.
Beispiel: Quint = lb(3:2)·Oktave = 0,585·1200 Cent = 702 Cent

Wer sich etwas im logarithmischen Rechnen üben will, sei an folgende logarithmischen Regeln erinnert

                          u                            z
lb(u·v) = lb(u)+lb(v), lb(-) = lb (u)  - lb(v) und lb(u ) = z·lbu
                          v

(Interpreation: Frequenzverhältnisse werden mulipliziert oder dividiert, die zugehörigen Intervalle aber addiert oder subtrahiert.)

Damit können Sie folgende Rechnung nachvollziehen:

        3               5                     3     5        3 5       6
Qui = lb-Ok und  gT = lb-Ok  => Qui - gT = (lb- - lb-)Ok = lb-:-Ok = lb-Ok
        2               4                     2     4        2 4       5

                        6
Bekanntlich ist Qua = lb-Ok. Wir haben also Qua = Qui - gT nachgerechnet.
                        5

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                       log(x)
Auch die Regel lb(x) = —————— läßt sich damit herleiten:
                       log(2)


Herleitung: Setze y = lb(x). Dann folgt:


                   y                                         y
                  2 = x   Auf beiden Seiten log ... mit log(2 ) = y·log(2)


           y·log(2) = log(x)


                      log(x)
                  y = ——————
                      log(2)


                                     log(x)
Somit ist nachgewiesen, dass lb(x) = —————— ist.
                                     log(2)

Bemerkung zu Logarithmengleichungen:

                                          a             a
Die Gleichung lb x = a hat die Löung x = 2 . Probe: lb 2 = a


Beispiele:

                 3                              3
lb x = 3 => x = 2 = 8      Probe: lb 8 = 3, da 2 = 8

                  -5   1              1            -5    1    1
lb x = - 5 > x = 2  = ——   Probe: lb —— = - 5, da 2  =  —— = ——
                      32             32                  5   32
                                                        2

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