der komplexen Zahl z = a + bi = r(cos(α) + i·sin(α)) aus.
Die Umrechnungen lauten:
a = r·cos(α)
b = r·sin(α)
und umgekehrt
—————
/2 2
r = \/a + b
b
tan(α) = -
a
2
Suche die Lösung für x = u + i·v (u,v ε R) mit z = a+b·i.
2 2 2
Aus der einen Gleichung x = u - v + 2·u·v·i = a + b·i folgt durch Koeffizientenvergleich
2 2
u - v = a (1)
das reelle Gleichungssystem ( ).
2uv = b (2)
Man sieht mit x = u + iv ist auch x = - x = (-u) + i·(-v) Lösung.
1 2 1
2 2
(-u) - (-v) = a
Denn gelten die Gleichungen (1) und (2), dann gilt auch ( ).
2(-u)(-v) = b
Beispiel a) z = - 1
2 2
u - v = -1 (1)
( ).
2uv = 0 (2)
2
Nach (2) ist u = 0 ( v = 0 würde auf auf u = - 1 führen, was für u ε R unmöglich ist.),
2
also ist nach (1) v = 1 und damit v = 1 oder v = -1.
Somit erhalten wir als Lösung x = i und x = - i.
1 2
2
(Klar: Die definierende Eigenschaft der komplexen Zahlen ist ja gerade i = -1)
Beispiel b) z = i
2 2
u - v = 0 (1)
( ).
2uv = 1 (2)
1 2 1
Aus (2) folgt v = ——. In (1) u - ——— = 1
2u 2
4u
4 2 1
=> u - u - - = 0
4
Die (reellen) Lösungen dieser biquadratischen Gleichung sind
1 1
u = -sqrt(2) und u = - -sqrt(2).
1 2 2 2
1 1 1
Mit v =—— folgt v = -sqrt(2) und v = - -sqrt(2)
2u 1 2 2 1
2
und somit sind die Lösungen der Gleichung x = i:
1 - 1 - 1 - 1 -
x = -\/2 + -\/2·i und x = - -\/2 - -\/2·i.
1 2 2 2 2
Beispiel c) z = 1 + i
2 2
u - v = 1 (1)
( ).
2uv = 1 (2)
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist:
1 1
u =sqrt(- + -sqrt(2)), u = - u
1 2 2 2 1
mit
1 1
v =sqrt(-sqrt(2) - -) und v = - v
1 2 2 2 1
Und somit hat man als Lösung:
——————— ————————
/1 1 - /1 - 1
x =\/ - +-\/2 + i·\/ -\/2 - - und x = - x .
1 2 2 2 2 2 1
Algemeine Lösungsformel:
Löst man das Gleichungssystem (1) und (2) allgemein, erhält man die Formeln:
————————— —————————
/ ———— / ————
1 / /2 2 / /2 2
x = ————(\/\/a +b + a + i·sign0(b)·\/\/a +b - a)
1 -
\/2
————————— —————————
/ ———— / ————
1 / /2 2 / /2 2
x = - ————(\/\/a +b + a + i·sign0(b)·\/\/a +b - a)
2 -
\/2
| + 1 für b > 0
|
wobei sign0(b) = { + 1 für b = 0 (hier ausnahmsweise sign0(0)= +1 statt sign(0)=0)
|
| - 1 für b < 0
Man sieht: x = - x
2 1
Die Formeln für TTMathe oder
TTrechnblatt lesbarer Foem:
x1 = u + i·v und x2 = -u - i·v für b ≥ 0
x1 = u - i·v und x2 = -u + i·v für b < 0
wobei
u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)+a)
v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)-a)
Beispiel d) z = 3 - 4i
Die Formel liefert für a=3 und b=4
u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)+a)=2
v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2+b^2)-a)=1
Da b < 0 folgt x1 = 2 - i und x2 = - 2 + i
Beispiel e) z = 5 + 2i
Die Formel liefert
u=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+5)
v=1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-5)
x1 = 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+5) + 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-5)·i
x2= - 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)+4) - 1/2*sqrt(2)*sqrt(sqrt(29)-4)·i
| |
Hier gehen wir von der trigonometrischen Darstellung der komplexen Zahl z = a + bi = r(cos(α) + i·sin(α)) aus. Die Umrechnungen lauten: a = r·cos(α) b = r·sin(α) und umgekehrt
—————
/2 2
r = \/a + b
b
tan(α) = -
a
|
Nebenbei bemerkt:
b π π b
Statt tan(α) = - kann man auch für - - ≤ α ≤ - schreiben α = arctan(-)
a 2 2 a
Man muß jedoch beachten dass der Tangens keine Umkehrfunktion besitzt.
π π
Nur bei dem Definitionsbereich [- -, -] ist die Funktion α -> tan(α) umkehrbar.
2 2
Für die Verwendung von arctan für 0 ≤ α ≤ 2·π gilt:
b b π
tan(α) = - <=> α = arctan(-) für 0 ≤ α ≤ -, a ≥ 0 und b ≥ 0 (I. Quadrant)
a a 2
b b π
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + π für - ≤ α ≤ π, a ≤ 0 und b ≥ 0 (II. Quadrant)
a a 2
b b 3
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + π für π ≤ α ≤ -π, a ≤ 0 und b ≤ 0 (III. Quadrant)
a a 2
b b 3
tan(α) = - <=> α = arctan(-) + 2·π für -π ≤ α ≤ 2π, a ≥ 0 und b ≤ 0 (IV. Quadrant)
a a 2
Am folgendem Beispiel wird dies demonstriert
(gerechnet mit TTRechenblatt).
I. Quadrant
al=30°=Pi/6
a=cos(al)=1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=1/2
al=arctan(b/a)=1/6*Pi
II. Quadrant
al=150°=5/6*Pi
a=cos(al)=-1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=1/2
al=arctan(b/a)+Pi=5/6*Pi
III.Quadrant
al=210°=7/6*Pi
a=cos(al)=-0,866025404
b=sin(al)=-1/2
al=arctan(b/a)+Pi=7/6*Pi
IV.Quadrant
al=330°=11/6*Pi
a=cos(al)=1/2*sqrt(3)
b=sin(al)=-1/2
al=arctan(b/a)+2*Pi=11/6*Pi
|
- α α
s=\/r (r>0) und β = - oder β = - + π.
2 2
- α α
Also sind die Lösungen x = \/r·(cos(-) + i·sin(-) und
1 2 2
- α α
x = - \/r(cos-) - i·sin(-) = - x .
2 2 2 1
α α α α
Beachte cos(- + π) = - cos(-) und sin(- + π) = - sin(-).
2 2 2 2
Beispiel a) z = -1 = cos(π) + i·sin(π) z=a+b*i=-1 a=-1 b=0 r=sqrt(a^2+b^2)=1 Beachte die Korrektur zu arctan al=arctan(b/a)+Pi=Pi u1=sqrt(r)*cos(al/2)=0 v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1 u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=0 v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1 Lösung: x = u +i·v = i 1 1 1 x = u + i·v = -i 2 2 2 π π Beispiel b) z = i = cos(-) + i·sin(-) 2 2 z=a+b*i=i a=0 b=1 r=sqrt(a^2+b^2)=1 arctan(b/a) existiert nicht! al=Pi/2=1/2*Pi u1=sqrt(r)*cos(al/2)=1/2*sqrt(2) v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1/2*sqrt(2) u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-1/2*sqrt(2) v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1/2*sqrt(2) 1 - Lösung: x = u +i·v = -\/2(1+i) 1 1 1 2 1 - x = u + i·v = - -\/2(1+i) 2 2 2 2 - π π Beispiel c)z = 1 + i = \/2·(cos(-) + i·sin(-) 4 4 z=a+b*i=1+i a=1 b=1 r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2) al=arctan(b/a)=1/4*Pi u1=sqrt(r)*cos(al/2)=1,098684113 v1=sqrt(r)*sin(al/2)=0,455089861 u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-1,098684113 v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-0,455089861 Lösung: x = u +i·v = 1,098684113 + i·0,455089861 1 1 1 x = u + i·v = - -1,098684113 - i·0,455089861 2 2 2 Beispiel d) z = 3 - 4i z=a+b*i=3-4*i a=3 b=-4 r=sqrt(a^2+b^2)=5 Beachte die Korrektur zu arctan al=arctan(b/a)+2*Pi=5,355890089 u1=sqrt(r)*cos(al/2)=-2 v1=sqrt(r)*sin(al/2)=1 u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=2 v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-1 Lösung: x = u +i·v = - 2 +i 1 1 1 x = u + i·v = 2 + i 2 2 2 Beispiel e) z = 5 + 2i z=a+b*i=5+2*i a=5 b=2 r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(29) al=arctan(b/a)=0,380506377 u1=sqrt(r)*cos(al/2)=2,278723854 v1=sqrt(r)*sin(al/2)=0,438842117 u2=sqrt(r)*cos(al/2+Pi)=-2,278723854 v2=sqrt(r)*sin(al/2+Pi)=-0,438842117 Lösung: x = u +i·v = 2,278723854 + 0,438842117·i 1 1 1 x = u + i·v = - 2,278723854 - 0,438842117·i 2 2 2